Algebraische Geometrie [Lecture notes] - download pdf or read online

Algebraic Geometry

By Scheithauer

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Cn eine Uberdeckung in affine Variet¨aten. h. eine glatte affine Variet¨at der Dimension 1. Dann ist g ∈ K[Ci ] Die Nullstellenmenge von g auf Ci zerf¨allt in endlich viele Komponenten. Diese sind affine Variet¨aten der Dimension 0 und somit endlich. Analog folgt, dass {P ∈ C|νP (h) = 0} endlich ist. 50 Sei f ∈ K(C), f = 0. Dann ist der Divisor von f gegeben durch νP (f )P ∈ Div(C). (f ) = P ∈C Es gilt (f g) = (f ) + (g) und (1/f ) = −(f ) und (f ) = 0, falls f ∈ K. Ein Divisor D ∈ Div(C) heißt Hauptdivisor, falls D = (f ) f¨ ur ein f ∈ K(C).

Eine glatte (alle Punkte regul¨ar) irreduzible projektive Variet¨at der Dimension 1. Die Divisorengruppe Div(C)ist die freie abelsche Gruppe erzeugt von den Punkten auf C. Die Elemente in Div(C) sind der Form D = m1 P1 + ... + mj Pj mit mi ∈ Z, Pi ∈ C. Der Grad von D = m1 P1 + ... mj . F¨ ur P ∈ C ist OC,P = {f ∈ K(C)|f regul¨ar in P } und mP = {f ∈ OC,P |f (P ) = 0}. Jedes echte Ideal in OC,P liegt in mP , insbesondere ist mP maximal. 1 (Nakayama). Sei A ein Ring und I ⊂ A ein Ideal, sodass 1 + x ∈ A∗ f¨ ur alle x ∈ I.

Die Abbildung q ist definiert auf P2K \ {(: 1 : 0 : 0 :), (: 0 : 1 : 0 :)}, also ist Q rational. (4) Eine birationale Abbildung von P2K nach P2K heißt Cranometransfomation. Ein Beispiel ist ϕ : P2K − → P2K (: x0 : x1 : x2 :) → (: x1 x2 : x0 x2 : x0 x2 :) = : 1 1 1 : : : . x0 x1 x2 ϕ ist nicht definiert auf den Punkten (: 1 : 0 : 0 :), (: 0 : 1 : 0 :) und (: 0 : 0 : 1 :). Es gilt ϕ−1 = ϕ. 4 Produkte projektiver Variet¨ aten K sei weiterhin algebraisch abgeschlossen. Wir zeigen, dass Produkt zweier projektiver Variet¨aten wieder eine projektive Variet¨at ist.

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