New PDF release: Analyse numerique avec Matlab: Indications, corriges

By Merrien J.

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N+1, on obtient g(xi ) = 0 et puisque e(x) = f (x) − p(x) et Q(x) = 1, il vient g(x) = 0. Si bien que nous avons k + 2 points distincts où la fonction g s’annule. Dès que f est dérivable, g l’est aussi puisque p et Q sont des polynômes. Le théorème de Rolle nous assure alors qu’entre 2 points successifs où g s’annule, il existe un point strictement compris entre les 2 points précédents où g s’annule Ainsi il existe une 1 suite strictement croissante xi1 , i = 1, . . , n + 1 telle que g (x11 ) = g(x21 ) = · · · = g(xn+1 ) = 0.

X étant un réel situé dans le domaine où la fonction n+1 f est définie avec x = xi . Notons Q(t) = j=1 (t − x j ) . (x − x j ) Sachant que g(t) = f (t)− p(t)−e(x)Q(t) et f (xi ) = p(xi ), i = 1, . . , n+1, on obtient g(xi ) = 0 et puisque e(x) = f (x) − p(x) et Q(x) = 1, il vient g(x) = 0. Si bien que nous avons k + 2 points distincts où la fonction g s’annule. Dès que f est dérivable, g l’est aussi puisque p et Q sont des polynômes. Le théorème de Rolle nous assure alors qu’entre 2 points successifs où g s’annule, il existe un point strictement compris entre les 2 points précédents où g s’annule Ainsi il existe une 1 suite strictement croissante xi1 , i = 1, .

De plus par définition de f , T n T f (x0 , . . , xn ) = X AX  0 et si X AX = 0 alors xi t i = 0 (continuité et positivité de la  Dunod – La photocopie non autorisée est un délit i=0 fonction à intégrale nulle). Si le polynôme s’annule sur [0, 1], on en déduit que ces coefficients sont nuls donc X = 0. Finalement A est définie positive. Comme A est symétrique, ses valeurs propres sont réelles. De plus elles sont strictement positives puisque A est définie positive. e. AX 1 = l. On en déduit l  A .

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