Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch: - download pdf or read online

By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad", richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

Die dritte Auflage wurde vor allem hinsichtlich der neuen Mathcad model 14 überarbeitet und bietet mehr Beispiele als die Vorauflage.

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Prof. Dr. Benker arbeitet am Fachbereich Mathematik und Informatik der Martin-Luther-Universität in Halle (Saale) und hält u. a. Vorlesungen zur Lösung mathematischer Probleme mit Computeralgebra-Systemen. Neben seinen Lehraufgaben forscht er auf dem Gebiet der mathematischen Optimierung.

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Example text

Durch fortlaufende Division als Reihe geschrieben werden: f ( x) = 1 1  x  x0 2  x  x0 3  .... = 1  x  x0  x  x0 (2-8) Die Reihe hat dann folgende Form: 2  a3 ˜ x  x0 3  .... f ( x) = a0  a1 ˜ x  x0  a2 ˜ x  x0 (2-9) Zur Ermittlung der Koeffizienten ai bilden wir vorerst unter der Annahme, dass die Funktion in einer Umgebung von x0 differenzierbar ist, deren Ableitungen. Zur Vereinfachung verwenden wir zur Herleitung eine abgebrochene Reihe: 4 f ( x) = n f 1 ( x) = ªan ˜ x  x nº o f ( x) = x  x 2 ˜ a2  x  x 3 ˜ a3  x  x 4 ˜ a4  x  x ˜ a1  a0 0 ¼ 0 0 0 0 ¬ ¦ 0 d dx 4 ¦ n ªan ˜ x  x nº o f ( x) = 2 ˜ x  2 ˜ x ˜ a2  3 ˜ x  x 2 ˜ a3  4 ˜ x  x 3 ˜ a4  a1 1 0 0 ¼ 0 0 ¬ 0 f 1 ( x) = a1  2 ˜ a2 ˜ x  x0  3 ˜ a3 ˜ x  x0 2  4 ˜ a4 ˜ x  x0 3 4 = ¦ n f 2 ( x) = d dx 4 ¦ n 1 2 4 = ¦ n f 3 ( x) = 4 dx ¦ n 1 ªn ˜ an ˜ x  x n1º o f ( x) = 3 ˜ 2 ˜ x  2 ˜ x ˜ a3  12 ˜ x  x 2 ˜ a4  2 ˜ a2 2 0 0 0 ¬ ¼ f 2 ( x) = 2 ˜ a2  6 ˜ a3 ˜ x  x0  12 ˜ a4 ˜ x  x0 d ªn ˜ an ˜ x  x n1º 0 ¬ ¼ ªn ˜ ( n  1) ˜ an ˜ x  x n2º 0 ¬ ¼ 2 ªn ˜ ( n  1) ˜ an ˜ x  x n2º o f ( x) = 12 ˜ 2 ˜ x  2 ˜ x ˜ a4  6 ˜ a3 3 0 0 ¬ ¼ 2 4 ¦ f 3 ( x) = 6 ˜ a3  24 ˜ a4 ˜ x  x0 = n ªn ˜ ( n  1) ˜ ( n  2) ˜ an ˜ x  x n3º 0 ¬ ¼ 3 usw.

18 ( X Y Zf ) ( X Y Zp) ( X Y Zf ˜ 0) Vergleich der Originalfunktion mit dem approximierenden Taylorpolynom. Zusätzlich ist hier noch die Ebene des Definitionsbereiches eingezeichnet. Durch die Änderung von r kann der Definitionsbereich beliebig geändert werden. 4 Laurentreihen Die Laurentreihe ist eine Verallgemeinerung der Taylorreihe im komplexen Bereich unter Berücksichtigung von Singularitäten im Entwicklungspunkt. Dies beschreibt die Funktionentheorie ausführlich, worauf jedoch hier nicht näher eingegangen werden kann.

Ein Satz der Funktionentheorie besagt: Jede Funktion f(z), die im Punkt z 0 eine Singularität besitzt, kann mithilfe einer verallgemeinerten Potenzreihe, der Laurentreihe, dargestellt werden: ∞ ªa ˜ z  z nº = ...  a 2 ˜ z  z  2  a 1 ˜ z  z  1  a  0 ¼ 0 0 0 ¬n ¦ f ( z) = ∞ n  a1 z  z 0  a2 ˜ z  z 0 2  ...  a3 ˜ z  z 0 3 (2-20)  .... Die Koeffizienten an erhalten wir aus dem Konturintegral: ´ 1 an = ˜µ 2˜ π˜ j µ µ ¶ f (z) z  z0 n1 C dz (2-21) Wobei die Kontur C als Doppelring mit r  z  z 0  R um die Singularität z 0 gegeben sein muss.

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