Download PDF by Bernhard Riemann: Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie

Geometry Topology

By Bernhard Riemann

In diesem Werk wird einer der klassischen Texte der Mathematik umfassend historisch, mathematisch, physikalisch und philosophisch von Jürgen Jost ausführlich kommentiert und die gesamte Entwicklung dieser Disziplinen eingeordnet. Neben dem Urtext wird auch der historisch wichtige Kommentarteil von Hermann Weyl wiedergegeben.

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Wir verweisen in diesem Zusammenhang auch auf die Darstellung in Pulte, Axiomatik und Empirie, S. 375–388. 46 s. das entsprechende Zitat aus der Dekanatsakte bei Laugwitz, Riemann, S. 218. 5 Die Entstehung von Riemanns Habilitationsvortrag 27 te Riemann in einige Verlegenheit. Der Vortrag wurde am 10. Juni 1854 gehalten. Gauß, der sonst sehr schwer zu beeindrucken war, war von Riemanns Vortrag außerordentlich beeindruckt. Trotzdem konnte Riemann sich nicht zu einer Veröffentlichung entschließen; zu dieser kam es erst posthum im Jahre 1868 durch Richard Dedekind.

Z. B. R. Torretti, Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré, Dordrecht, Boston, Lancaster,  1984, 63f, 381 41 s. E. Scholz, Riemanns frühe Notizen zum Mannigfaltigkeitsbegriff und zu den Grundlagen der Geometrie, Arch. Hist. Exact Sciences 27, 1982, 213–282 42 C. F. Gauß, Disquisitions générales cira superficies curas. Commentationes Societatis Gottingensis, 1828, 99–146; Werke, Bd. 4, 217–258; deutsche Übersetzungen durch O. Böklen, 1884, und A. Wangerin, Leipzig, 1889, wiederabgedruckt in: Gaußsche Flächentheorie, Riemannsche Räume und Minkowski-Welt, hrsg.

Hauptkrümmungen einer Fläche S in einem gegebenen Punkt P. Zu deren Bestimmung betrachtet man die Ebenen, die S in P senkrecht schneiden. Der Schnitt zwischen einer solchen Ebene und S (auch Normalenschnitt genannt) ist dann (in der Nähe von P) eine Kurve c auf S. Diese Kurve besitzt dann eine (mit Vorzeichen gemessene) Krümmung k. 43 Diese beiden Hauptkrümmungen hängen i. a. von der Gestalt der Fläche im Raum ab. Gauß leitet dann aber den bemerkenswerten Satz (sog. Theorema egregium) her, dass das Produkt K = k  ⋅ k  nicht mehr von dieser Lage abhängt, somit eine Größe der inneren Geometrie ist.

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