Andreas Kriegl's Kategorientheorie PDF

German 16

By Andreas Kriegl

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24 3. 24 Beispiele f¨ ur Quotienten. Die u ¨brigen Limiten sollten wohl mittels der dualen Konstruktion zu Teilobjekten also mittels Quotientenbildung erhalten werden. Wir behandeln zuerst F¨ alle, wo dies leicht geht. 9 Kongruenzen ∼⊆ X × X als Pullback von Morphismen f : X → Y definiert haben: f GY Xy y pr1 f ∼ pr2 GX In Gru ist eine Kongruenz ∼ durch N := {g ∈ G : g ∼ 1} eindeutig bestimmt, und zwar sind die auftretenden N genau die Normalteiler, denn (x, y) ∈ P B(f, f ) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ f (x−1 y) = f (x)−1 f (y) = 1 ⇔ x−1 y ∈ ker(f ).

Diese sind aber nicht multiplikativ. Nun betrachten wir die Kongruenzrelation ∼ auf F (X Y ), welche von (x, x ) ∼ (xx ) mit x, x ∈ X und (y, y ) ∼ (yy ) mit y, y ∈ Y erzeugt wird. Durch m¨ oglichst weitgehendes Ausmultiplizieren k¨onnen wir in jeder ¨ Aquivalenzklasse einen eindeutig bestimmten Repr¨asentanten der Form (z1 , . . , zn ) finden, wobei alle zi aus abwechselnden “Komponenten”X oder Y von X Y sind und keines eine Einheit ist. Es ist dann X Y := X Y = F (X Y )/ ∼. In AGru, R-M od, V ekt, Ban und LKV stimmt das zweifache Coprodukt u ¨berein mit den zweifachen Produkt.

Sei d : D → Y ihr Durchschnitt. Dann geh¨ort d selbst zu M. Es sei p, q so daß q ◦ g = p ◦ g und k := Equ(p, q). Xy G r m 2 UG Y ooo y d oooo g k Ej 9G ooo Uooo qG G• Dg p GGY e X s Es geh¨ ort auch d ◦ k zu M, denn m faktorisiert offensichtlich u ¨ber d ◦ k, und weil k ein starker Mono ist, faktorisiert auch s u ¨ber d ◦ k. Also ist k ein Iso, und somit g ein Epi. Da m ein extremer Mono ist, ist g ein Iso. 9 Sei f : X → Y ein beliebiger Morphismus. Dann betrachten wir die Klasse M aller starken Mono’s m : • → Y u ¨ber welche f faktorisiert.

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